משפט גדל

פרופסור ארנון אברון, פרופסור מן המניין בחוג למדעי המחשב באוניברסיטת תל אביב, מסביר בדבריו את משפט אי השלמות של גדל ואת השלכותיו. גדל הראה שכל מערכת אקסיומות אפקטיבית ועשירה מספיק (כזו המכילה חלק מספיק גדול מאקסיומות האריתמטיקה) שהיא עקבית, היא בהכרח לא שלמה, משמע שקיימות טענות שלא ניתנות להכרעה, כלומר שלא ניתן להוכיחן או להפריכן. בכך גדל שם קץ לניסיונות רבים לבנות מערכת אקסיומטית כוללת שממנה תנבע כל המתמטיקה. משפט זה משליך על שני עקרונות יסוד במתמטיקה, האחד הוא יסוד הוודאות, הגורס כי משפטים מתמטיים הם ודאיים. השני הוא יסוד השלמות, המניח כי ניתן לפתור כל בעיה מתמטית, כלומר, להוכיח או להפריך כל משפט מתמטי. תגליתו של גדל ערערה את שני היסודות האלו.